Índex:
Nombres i mesures en els primers documents escrits.
Investigación y ciencia. Número 91. Abril de 1984. Pàgines 68 a 76.
El final del quart mil·lenni aC, protosumeris i protoelamites tenien sistemes de nombres i mesures ben desenvolupats, entre els que es comptava un antecedent del nostre propi sistema decimal.
Joran Friberg.
Entre els primers documents escrits del món es troben algunes inscripcions sobre tauletes d’argila desenterrades a l’Iraq i Iran, en particular en els jaciments de dues ciutats antigues: la primera ciutat sumèria d’Uruk i l’antiga ciutat elamita de Susa. Les inscripcions, majoritàriament comptes i rebuts de diversos tipus, van ser escrites al final del quart mil·lenni aC i poc després. Després de moltes dècades de treball estudiós, han pogut identificar-se tots els sistemes de nombres i mesures d’aquests textos «protolletrats». En ells podem trobar antecedents del sistema de numeració sexagesimal sumerobabilònic posterior (que compte només de 10 en 10 i de 60 en 60) i el nostre propi sistema decimal (que compte només de 10 en 10). A més, inclouen un conjunt de mesures de capacitat, no reconegut prèviament, utilitzat en tots els comptes relacionats amb l’ordi, que en aquesta etapa primerenca constituïa tant el cereal alimentari com la moneda.
El lector que vol saber sobre els sistemes de numeració i mesures protolletrades haurà de seguir-me a un viatge en dos direccions. Viatjarem en el temps enrere, pel que fa a la documentació històrica i endavant, des del passat fins al present, per el que els estudiosos han investigat respecte a les tauletes més antigues. La raó que hem de fer-ho així es deu a que les tauletes més antigues estaven enterrades a més profunditat i per tant, les últimes a ser rescatades i a ser accessibles per a l’estudi. Les tauletes més antigues eren també les més difícils d’interpretar.
Agafem com a punt de partida la costera illa grega de Kos, a uns32 quilòmetres al nord-oest de Rodes. Allà, cap el. 340 a. C., el fundador d’una escola de l’astrologia, un babiloni anomenat Beroso, va escriure una història del seu país natal. En aquesta història va dir als seus lectors grecs que els numerals sossos (60), neros (600) i saros (3600) ocupaven un lloc especial en l’aritmètica i astronomia babilòniques. Res més es va saber sobre numerals i mesures babilòniques en els següents 2200 anys. L’any 1855, Sir Henry Rawlinson, un dels pioners de la desxiframent de l’escriptura cuneïforme, va publicar un resum dels numerals cuneïformes inscrits en una petita tauleta d’argila trobada en el jaciment de l’antiga ciutat de mesopotàmica per Larsa. Entre altres coses, Rawlinson es va adonar que les dues últimes línies de la tauleta establien en efecte que «58 1 és el quadrat de 59» i que «1 és el quadrat de 1». Va arribar a la conclusió que la tauleta era la part final d’una taula d’arrels quadrades, que començava amb el quadrat de 49 (igual a 2401 mateix, o 40 x 60 + 1) i acabava amb el quadrat de 60 (igual a 3600 o 60 x 60). Per descomptat que la interpretació era possible només si se suposava que els numerals 60 i 60 x 60 estaven ambdós representats pel mateix símbol, és a dir, el número 1.
Rawlinson va treure la conclusió que els babilonis tenien operacions numèriques amb una notació sexagesimal d’una naturalesa quasi posicional; en altres paraules, una notació numèrica en la que el símbol per 1 també representava les potències de 60 i el símbol 10, 10 vegades les potències de 60. Va arribar a la conclusió addicional que els babilonis no tenien cap signe especial per representar el zero.
És necessari considerar aquí breument els mèrits relatius de diferents bases de sistemes de numeració. Anem a començar per l’anomenat sistema mètric, que és en realitat una família de sistemes interrelacionats d’unitats de diversos tipus de mesures. El sistema mètric deu l’acceptació general per la seva senzillesa estructural i el fet que està construït per ajustar-se a la base 10, o decimal, un sistema que s’utilitza avui per a tot tipus de computació ordinària. Des del seu naixement a França entre els productes de la revolució francesa, poc a poc s’ha estès arreu del món.
El temps que ha costat al sistema mètric fer-se amb una acceptació general és una prova de com de difícil és suprimir altres sistemes «consuetudinaris» de pesos i mesures. Els exemples anglesos d’aquests sistemes inclouen les seqüències mile, furlong, chain rod, yard, foot i inch (o les tradicionals castellanes de milla, legua, braza, vara, pie i polsada) per a les mesures de longitud, barrel, bushel, peck, quart i pint (fanega, celemíns, almud, cuartera o cuartillo) per a les mesures d’àrids i ton hundredweight pound, i ounce, (tonelada, quintal, arroba, libra i onza) per a les mesures de pes. Per a aquest assumpte, incloent-hi el sistema mètric, en la seva forma no científica, ha arribat a incorporar sistemes no-decimals: l’any de 12 mesos, el dia de 24 hores, l’hora de 60 minuts, els minuts de 60 segons, com a unitats de temps i la circumferència de 360 graus, amb les subdivisions del grau de 60 minuts i minuts de 60 segons, com a unitats de mesura d’angles. Aquestes mesures ordinàries pot ser portades a l’astronomia grega clàssica i fins i tot més enllà, a l’ús general de numeració sexagesimal per el càlcul a Babilònia i a Sumèria. Molts altres sistemes habituals de pesos i mesures van ser condemnat al fracàs, no obstant això, a ser substituïts per el sistema mètric decimal, ja que ells no s’adequaven prou al sistema de numeració decimal adoptat de forma general.
Tanmateix, la supervivència d’alguns sistemes ordinaris ha estat en part responsabilitat del propi sistema numèric decimal. El sistema decimal té la debilitat que la seva base de 10, és en realitat massa petita. Això quedarà més clar tan aviat com aportem exemples addicionals de càlculs en el marc del sistema sexagesimal, amb la seva base major: 60 = 3 x 4 x 5 (per oposició a 10 = 2 x 5). Com podeu veure, el sistema base 60 va permetre als predecessors protolletrats dels sumeris poder construir una família de sistemes de mètrics perfectament interrelacionats entre sí, amb seqüències d’unitats canòniques de aparició natural de fàcil utilització en els càlculs.
Trobar la interpretació correcta del sistema de notacions cuneïformes que serveixen per representar números sexagesimals (o de base 60), va ser relativament fàcil. Era més difícil d’entendre com es van construir els diferents sistemes de mesures, que apareixen en nombroses inscripcions cuneïformes. Algunes claus decisives van oferir certs tipus de tauletes que els estudiosos van interpretar com a textos escolars.
La còpia de textos canònics constitueix una part essencial de la carrera escolar en l’època de l’antiga Babilònia o Paleobabilònic (1500 a 1900 a. C.). Molts d’aquests textos eren llistes i tauletes: llistes de noms geogràfics, llistes de noms d’aus i peixos, llistes de paraules en dues llengües, tauletes de gramàtica per a l’estudi de la difícil llengua sumèria, etc. També es copiaven tauletes matemàtiques i tauletes de mesures. Per fer aquest tipus de còpia, un estudiant es formava en l’escriptura cuneïforme i alhora reunia una petita biblioteca personal de tauletes.
El primer exemple d’una tauleta de mesures descrites en una revista científica va ser una tauleta fragmentaria descoberta també a Larsa. La tauleta va ser investigada l’any 1872, per George Smith, erudit estudiós de l’escriptura cuneïforme, però el seu significat no va ser entès completament fins molt més tard. A la part esquerra de cada columna de la tauleta, hi ha una seqüència, disposada d’una forma sistemàtica, de mesures de longitud, expressades en unitats al us. Aquestes unitats són, de menor a major, el she (un gra), shu-si (un dit), kush (un colze) i així successivament fins el beru, equivalent a 30 x 60 x 12 (6 x 602), o 21.600 colzes. A la part dreta de cada columna apareixen les mateixes mesures de longitud expressades en múltiples de colzes en notació sexagesimal. Per exemple, la línia de la part inferior dreta identificada com a en la reproducció d’una tauleta que apareix a la figura 4 diu «dos beru [equivalent a] 12». Cal assenyalar que beru representa la pronunciació babilònica del símbol de la paraula sumèria danna (normalment escrita com kas-gid, que significa «camí llarg»). No obstant això, el 12 no representa 12 colzes, sinó la suma més gran de 12 x 602 colzes. Amb un colze que equival a mig metre de longitud aproximadament, la longitud del beru era superior als 10 quilòmetres.
Quan es va identificar un altre fragment de la mateixa tauleta poc desprès que s’havia trobat la primera, es va veure que contenia una altre tauleta metrològica del mateix tipus de la primera, llevat que, en aquest cas, la part dreta de cada columna tenia que veure amb múltiples d’un nindan (equivalent a 12 colzes) en notació sexagesimal. Només molt més endavant l’estudi de textos matemàtics babilònics que tenen a veure amb el càlcul de volums va demostrar que, mentre que el colze constituïa la unitat bàsica per a les mesures verticals, el nindan era la unitat per mesures horitzontals. Per tant, la més petita unitat d’àrea sumerobabilònica, el shar, fora un quadrat nindan. D’aquí, que la menor unitat de superfície sumerobabilònica el volum,, també anomenat shar, era l’espai per contingut en una àrea de base d’un nindan quadrat que tingués els costats d’un colze d’alt. Aquesta sèrie d’unitats aparentment peculiar era realment molt pràctica, perquè en general va evitar la necessitat de comptar amb fraccions petites d’una unitat de volum.
Aquestes dues taules metrològiques són un testimoni eloqüent de la perfecció amb que les mesures del sistema de sumerobabilònic de longitud es va adequar al sistema de numeració sexagesimal. Tenir en compte les regles de conversió d’unitats de longitud del sistema mètric. Sis she és igual a un shu-si, 30 shu-si equivalen a un kush, 12 kush equivalen a un nindan, 60 nindan equivalent a un USH i 30 USH equivalen a un danna (o beru).
La informació continguda en aquesta seqüència de regles de conversió pot condensar-se de la següent manera: els «factors de conversió» per el sistema lineal babilònic son: 6, 30, 12, 60 i 30. Veiem doncs, que cada un d’aquests factors és també un factor numèric del sistema de numeració sexagesimal. A tall de comparació, la seqüència anglosaxona de polzada a la milla dóna els següents factors de conversió: 12, 3, 5½, 4, 10 i 8. Sigui quin sigui l’origen d’aquest sistema ordinari de factors, està clar que no s’adapta de cap manera al nostre sistema de numeració decimal.
Les excavacions a Mesopotàmia no només han proporcionat textos d’interès matemàtic, com les procedents de Larsa, sinó també «textos amb problemes», que són encara més substancials. Ja en el 1900 el Museu Britànic reproduïa dues grans tauletes del Babilònic Antic que presentaven diversos problemes matemàtics. La seva terminologia matemàtica era difícil i inusual i així van passar aproximadament 30 anys abans que la majoria dels problemes s’interpretessin i s’entenguessin completament. Avui dia un gran nombre de problemes matemàtics dels textos antics babilonis són accessibles per el seu estudi. No obstant, ampliar-los seria al marge d’aquesta exploració dels seus orígens. Anem per tant a altres textos publicats a principis de segle.
Entre 1889 i 1900, una expedició nord-americana va realitzar una excavació important a Nippur, un dels jaciments més extensos e importants de Mesopotàmia. El 1906, Herman V. Hilprecht, de la Universitat de Pennsilvània, va informar dels resultats de l’expedició en un volum que incloïa reproduccions de diversos textos matemàtics i metrològics importants de la antiga Babilònia i un text amb problemes escrit en sumeri. (Només fa un any que vaig poder demostrar que aquest text de problemes conté una sèrie de problemes geomètrics tridimensionals resolts utilitzant reduccions a equacions cúbiques i obtenint arrels cúbiques).
Els textos metrològics de l’antiga Babilònia publicats per Hilprecht incloïen les taules de conversió sexagesimal per a diversos tipus de mesures i llistes de mesures de menor a major, a més de taules de conversió. Es pot suposar que aquestes llistes es van utilitzar per ensenyar tant l’estructura dels sistemes de mesures sumerobabilòniques com la forma de signes numeral i altres signes que pertanyien a cada sistema.
La publicació de Hilprecht mostrava una evident similitud entre les taules de l’Antiga Babilònia, per una banda, i vocabularis i llistes lèxiques o gramàtiques sumerobabilòniques, per l’altra. Des de llavors, han estat exhumats una sèrie de textos relatius a aquestes categories. Els més antics constitueixen unes protolletrades llistes de lèxics que daten de finals del quart mil·lenni aC. Les taules de matemàtiques més antigues són mig mil·lenni més recent.
Si ara continuem el nostre viatge en el temps fins al començament del tercer mil·lenni aC, arribem al període sumeri període conegut com UR III (2050-1950 a.C.), que immediatament va precedir al període Babilònic Antic. Es coneixen gran quantitat de textos de UR III, la majoria de textos de caràcter administratiu i econòmics. Utilitzaven, com a regla general, una notació no posicional dels nombres sexagesimals, amb signes independents per 1 i 60 i 602, i per 10, 10 x 60 i 10 X 602, i així successivament. Amb aquest tipus de notació no posicional, no hi havia cap necessitat d’un signe especial per el zero.
Molt pocs entre els nombrosos textos d’UR són d’interès per el seu contingut matemàtic o metrològic. Esmentaré aquí només un reduït grup d’aquests, que tractaven de càlculs de la quantitat de llavor necessària per sembrar camps de unes dimensions donades, tenint en compte, quan van repartir l’espaiat dels solcs com N solcs per nindan. Les còpies conservades en una espècie de Almanac del pagès sumeri indiquen que es dipositaven regularment en els solcs les llavors a intervals de dos dits (shu-si), a raó de 180 cereals (equivalent a una unitat de capacitat anomenat sheke [siclo]) per nindan. Quan, com sovint era el cas, N era igual a 10, això podria expressar-se exactament com un gur (la unitat de capacitat) per bur (la unitat més gran superfície). Aquest exemple, en el qual un gra per dos dits equival a un siclo per nindan o un gur per bur, mostra com les diferents unitats de mesura sumerobabilòniques va aparèixer perfectament interrelacionades malgrat la seva complexitat aparent.
El domini sumeri a Mesopotàmia durant el tercer mil·lenni va ser interromput per un breu interludi semític, que comença amb el regnat de Sargon d’Acad (2350-2300 aC). L’existència d’una activitat matemàtica en el període de Sargon i dels seus successors, difícilment es pot posar en dubte, es confirma per un grapat de petites tauletes que registren exercicis geomètrics senzills, però de cap manera trivials. El període sargònic és il·lustrat aquí amb una tauleta procedent de la ciutat d’Umma i que presenta un compte d’ofrenes religioses, diaris i mensuals de cervesa. El text inclou interessants càlculs metrològics. Mostra igualment amb claredat que els símbols numèrics podrien escriure’s en dues formes: com a signes cuneïformes, inscrit amb l’extrem d’un càlam o com signes circulars elaborats amb l’altre extrem de càlam.
Pocs textos matemàtics més es coneixen del període sumeri presargònic i del precedent període de Fara, el Sumeri Antic o Paleosumeri, de la meitat del tercer mil·lenni a. C. El text metrològic més antic que es coneix és del període de Fara i enumera les zones dels grans camps quadrats fins incloure un camp de (10 x 60 nindan)2. Recentment vaig tenir l’oportunitat d’identificar un altre text de Fara com un exercici geomètric relacionat amb l’anterior. Altres dos textos matemàtics del període Fara són ben coneguts. Ambdós tracten el mateix problema de divisió amb grans xifres sexagesimals en joc. Encara que aquesta petita mostra de textos no aconsegueix conclusions transcendentals, sembla clar que els primitius mestres sumeris la tasca del qual sembla haver estat la instrucció en el que es podria anomenar matemàtiques elementals aplicades, realment sobresortien en les operacions amb problemes bastant abstractes que tenien nombres o mesures molt elevades o reduïdes, amb algoritmes per la multiplicació o divisió, amb càlculs de superfícies basats en taules de àrees quadrades i altres temes per el estil. Com podem veure, aquesta predilecció per operar amb grans xifres i menudes imaginaries poden retrocedir al període protolletrat.
Com es van desenvolupar els sistemes matemàtics i metrològics sumeris? La presentació de les principals dades implica un altre pas cap enrere, cap a l’inici del tercer mil·lenni aC. El 1928, Stephen H. Langdon, de la Universitat d’Oxford, va publicar una col·lecció de 200 textos que havien estat excavats uns anys abans al petit jaciment de Jemdet Nasr, a l’Iraq. (La col·lecció de Jemdet Nasr actualment està dividida entre el Museu de Ashmole d’Oxford i el Museu iraquià, de Bagdad). Les noves inscripcions estaven escrites amb una escriptura pictogràfica arcaica, això és un clar antecedent, de la escriptura cuneïforme sumèria. Tanmateix, molts dels signes d’aquests textos arcaics ja no s’utilitzaven en l’època que van ser concebuts els textos cuneïformes del període de Fara, del Sumeri Antic. Per això encara avui no es coneix la lectura correcta de molts signes de les inscripcions «protosumèries» de Jemdet Nasr i els textos són encara més o menys intel·ligibles. Tampoc, és clar que el llenguatge de les tauletes de Jemdet Nasr sigui sumeri, per què precisament faig referència a ells com protosumeris. No obstant això, els números que apareixen en aquests textos, normalment fets amb la punta dels estils, sempre són fàcils d’identificar. Es va reconèixer immediatament que les anotacions numèriques de les tauletes de Jemdet Nasr tenien una relació íntima amb la d’altres tauletes encara més enigmàtics de l’Iran. Aquestes tauletes s’anomenen, per raons similars, protoelamites i són més o menys de data idèntica. Tornarem a elles més endavant.
El 1936, menys d’una dècada després de la publicació de les tauletes de Jemdet Nasr per Langdon, l’erudit alemany Adam Falkenstein va publicar un altre recull de tauletes protosumèries, clarament més antigues i una mica més primitives que les de Jemdet. La col·lecció de Falkenstein incloïa 600 inscripcions, però aquestes van representar només una petita part del total recuperat per una expedició alemanya que havia estat excavant al jaciment de la important ciutat mesopotàmica d’Uruk, en els primers anys de la dècada de 1930. La majoria de les tauletes publicades procedien de Nivell IV d’aquest jaciment. La resta de la col·lecció (ara a Berlín) es publicarà en un futur pròxim.
Tres textos de Jemdet Nasr que tracten de càlculs de superfícies van ser interpretats l’any 1930 per l’estudiós francès François-Maurice Allotte de la Fuye, que va demostrar que el sistema de numeració sexagesimal i el sistema sumeri de mesures de superfície s’utilitzaven també per aquestes inscripcions protosumèries. Amb aquesta excepció, però, les anotacions protosumèries per a nombres i mesures han continuat entenent-se molt poc. Es suposava que en general, però, que, juntament amb el sistema sexagesimal sumeri, els copistes primitius van recórrer a un sistema de numeració decimal (o «centesimal»), pres probablement de la protoelamita. També havia motius per suposar, que en els textos cerealistes dels protosumeris (caracteritzats per el signe she, que significa gra) la unitat principal de capacitat era un gur que contenia 300 sila (o 30 ban), al igual que en els textos de caràcter cerealista del període posterior de UR III.
El 1978 vaig poder demostrar la falsedat d’aquestes suposicions al provar que en ambdós tipus de textos cerealistes protolletrats, protosumeris i protoelamites de text el signe numèric llegit invariablement per els estudiosos com 10 molt probablement també tenia el valor de 6. De fet, fins i tot en un sol text del mateix signe numèric es pot llegir com 10 o 6, depenent del context.
Aquesta nova perspectiva em va permetre entendre immediatament els càlculs de centenars de textos amb mesures de capacitat protosumeris i protoelamites, textos que no havia estat possible analitzar prèviament. Establint paral·lelismes entre certs tipus de textos protolletrats i les seves correlacions sumèries vaig poder determinar, almenys de una forma aproximada, el valor absolut de la unitat principal de capacitat protolletrada, que va resultar ser poc més o menys una ban sumeri (aproximadament 10 litres) i no el pretès 30 ban.
Gràcies a aquests desenvolupaments, ara podem començar a determinar correctament l’escala i el caràcter de les economies protosumèries de Jemdet Nasr i d’Uruk, i de l’economia de Susa, antiga ciutat important iraní. Un text de «pa i cervesa», que pertany al període de Jemdet Nasr, però que es va trobar a Uruk, conté càlculs amb altes xifres i fraccions petites, que ha demostrat ser de particular interès. El text no té cap tipus de data o signatura. Aquest fet sol indica que no és un registre administratiu corrent, sinó un llibre de text escolar: un exercici de matemàtiques i metrologia. Com s’indica en la figura 7, la part superior de la tauleta està destinada al càlcul de la quantitat de gra lliurat per la cocció de certes quantitats de pans de diferents mides (indicades amb fraccions d’una unitat de capacitat menor protosumèria). La part inferior de la tauleta reflecteix una quantitat similar de la quantitat de gra lliurat per l’elaboració de dues gerres de cervesa fortes, tres gerres de cervesa de grau mig i cinc gerres de cervesa lleugera. Les diferents graduacions dels tres lots de cervesa s’expressen en diferents quantitats de gra per gerra dels tres exemples.
Aquest exemple precisa d’un text protosumeri del tipus Jemdet Nasr i és important per diversos motius. En primer lloc, s’estableixen els valors relatius d’algunes unitats del sistema protosumeri que eren usades per a mesurar la capacitat, incloent un nombre de unitats fraccionàries. En segon lloc, demostra tant l’ús del sistema numèric sexagesimal com un sistema especial de «bisexagesimal». Igualment important, aquest text es pot emprar per trobar els valors absoluts de les unitats d’aquest sistema arcaic de mesura de la capacitat.
Anem ara a la segona classe de inscripció protolletrada, els textos protoelamites procedents de diferents jaciments de l’Iran. Elam fou el nom donat pels babilonis i els assiris a la regió occidental de l’Iran que s’estén fins als extrems de Mesopotàmia. Les expedicions franceses han estat excavant en el jaciment de l’antiga Susa, la capital de l’Elam, des de finals del segle XIX. En l’època del període de l’Antiga Babilònia, fa 4000 anys, els elamites utilitzaven el sistema d’escriptura cuneïforme sumerobabilònica. No obstant això, les excavacions de Susa i altres països de l’Iran han revelat l’existència d’una civilització iraniana anterior que utilitzava una escriptura no cuneïforme, i que va florir poc temps d’un mil·lenni abans que l’època dels babilonis antics i dels elamites l’utilitzessin. Aquesta civilització protoelamita va ser prou potent com per portar la seva influència fora el mateix Elam, al nord i al est, fins i tot en racons allunyats de l’altiplà iranià.
Centenars de tauletes de argila arcaiques procedents de Susa (que constitueixen la major part de tots els textos protoelamitas coneguts) van ser publicats per l’erudit Vincent Scheil Gaul entre els anys 1900 i 1935. Scheil va ser també el primer erudit que va percebre un paral·lelisme entre les escriptures sumèries i protoelamites: el mètode de presentació de notacions numèriques. Tanmateix, l’escriptura protoelamita no presenta cap relació amb cap altra escriptura coneguda. El seu repertori de signes, que representen paraules o síl·labes d’una llengua desconeguda, és de poca ajuda al ser abstracta i no pictogràfica, aquesta circumstància podria aparèixer per a fer la interpretació de peces no numèriques de textos protoelamitas virtualment impossible.
Els primers intents de Scheil per entendre la naturalesa dels sistemes numerals dels textos protoelamitas no van ser per desgràcia, afortunats. Va ser incapaç de reconèixer que un sol signe -una petita impressió circular- no sempre té necessàriament el valor numèric de 10. D’aquesta manera va arribar per un cert temps a la conclusió de que els protoelamites, igual que els antics egipcis, operaven amb un sistema de numeració decimal en totes les seves comptes i càlculs. Més tard, però, hem trobat que alguns textos protoelamites presenten un signe especial per a 60. Scheil també va identificat una sèrie d’anotacions fraccionals i va arribar a identificar correctament el logograma protoelamita per a «gra» o potser «mesura d’àrids».
Un text protoelamita amb un exercici matemàtic-metrològic, publicat per Scheil l’any 1935, tracta de la suma d’una llarga sèrie de figures de molts dígits que representen mesures de capacitat. Aquest text particular ofereix un excel·lent confirmació de la meva pròpia anàlisi de l’estructura de les unitats protoelamites per a mesurar la capacitat. El sistema va ser clarament construït per adaptar el sistema de numeració decimal (o bisexagesimal); i té la següent seqüència de factors de conversió d’una unitat a la següent: 6, 10, 3, 10, 6, 5, 2, 3, 2, 2. La sèrie corresponent de factors de conversió per les unitats del sistema protosumeri, ometent els factors primers i els quatre últims, és 10, 3, 10, 6, 5. D’aquí que els dos sistemes difereixen només en els seus respectius modes de representar fraccions de la unitat de petita capacitat (una mesura que es correspon amb el litre del sistema mètric).
Vaig elaborar un informe d’aquesta anàlisi d’unitats de mesura de la capacitat dels dos sistemes en un informe d’investigació de 1978. Aquest mateix informe incloïa un altre descobriment sorprenent, és a dir, que els protoelamites (però no els protosumeris) empraven el sistema de numeració sexagesimal només quan comptaven persones o objectes inanimats, com pans o gerres de ceràmica. Quan comptaven animals operaven amb un sistema numèric decimal amb notacions numerals especials! (En l’escriptura cuneïforme sumeri-babilònica van ser ocasionalment utilitzat nombres decimals, però, en absència de notació adequada, sempre es representava per signes fonètics).
L’ús del sistema decimal per comptar animals es confirma per un text famós protoelamita publicat per Scheil el 1923. El text és bastant inusual: inclou inequívocament pictogrames, en comptes de foscos logogrames utilitzats. Tots ells estan representats en quatre categories diferents animals de caps equins, probablement dividides segons sexe i edat. Hi ha dubte, però, que sigui «cavalls» inclòs amb nombres decimals.
Cal afegir a la confusió general que resulta de l’ús protoelamita de dos diferents sistemes numèrics per els càlculs, que varis signes protoelamites per els nombres (no només els petits i d’infame impressió circular) tenen valors diferents segons el context. Per exemple, el signe per 1000 és el mateix que 2 x 60. La raó d’aquesta ambigüitat dels signes numerals és evident: amb els extrems roms d’un o dos càlams no puc escriure més d’un signe.
En definitiva, com a resultat de la meva identificació dels sistemes utilitzats en els textos protolletrats per a nombres i mesures, poden per primera vegada dividir-se en textos arcaics protosumeris i protoelamites així que van entrar en un nombre relativament reduït de categories segons el seu contingut. El contingut d’un text s’indica en particular per els números i mesures emprats. Per exemple, entre els textos protoelamites, les principals categories són les enumeracions de persones (càlcul sexagesimal), càlculs de gra lliurat en racions per persones (números de capacitat i números sexagesimals) o per a animals (números de capacitat i números i decimals), textos de pa i cervesa (números de capacitat i números sexagesimals), comptes de grups d’animals (nombres decimals), comptes de pans o vasos de ceràmica (números sexagesimals) i comptes de grans quantitats de cereal lliurades -o enviades als magatzems-, en un cas durant una «setmana» de cinc dies (nombre de capacitat). Podeu trobar altres categories en els textos protosumeris: càlculs de superfícies (números de superfície i números sexagesimals) i un únic exemple d’un text de sembrats (números de superfície i números de capacitat).
Queda molt per a fer fins que les col·leccions de textos protolletrats, publicats o inèdits, puguin proporcionar-nos tota la informació que està per descobrir. Tanmateix, s’han fet molts avenços, especialment en l’última dècada, que ja es pot esbossar un esquema del desenvolupament de la numeració i la metrologia de l’Àsia sud-occidental de l’època prehistòrica fins al final de la babilònica.
En particular és conegut avui en dia, gràcies al treball de la Denise Schmandt-Besserat1, de la Universitat de Texas a Austin, que una varietat de «fitxes» d’argila van servir en aquesta regió, des del IX mil·lenni aC fins al final del quart, per a designar els números, mesures i potser les categories d’objectes. També és conegut que l’ús de fitxes soltes es va complementar, a finals del quart mil·lenni, amb el recurs d’incloure els símbols triats en una mena de sobres protectors d’argila. Els sobres semblen haver inspirat al seu moment la invenció de «les tauletes impreses» (el terme es refereix a les tauletes d’argila amb notacions numèriques i normalment empremtes, de cilindres-segells però faltant qualsevol signe abstracte o logograma).
La similitud de la forma dels signes numèrics de les tauletes impreses i la forma de les fitxes d’argila anteriors ens mostren una continuïtat de les representacions de nombres i mesures des del moment del naixement de les ciutats-estat del sud-oest d’Àsia fins, que ens remuntem en el temps, al Neolític, fa uns 10.000 anys. A més, el fet que les notacions per unitats que pertanyen a diferents sistemes de nombres i mesures protolletrats també apareixen clarament en algunes tauletes impreses ens demostra una continuïtat en les representacions dels nombres i mesures des de finals del quart mil·lenni aC, en endavant, sense solució de continuïtat fins el període de l’antiga Babilònia, que està situat uns 2000 any més tard. I, com hem vist, el nostre propi sistema decimal, així com la manera en que podem dividir el temps en hores, minuts i segons, és un reflex de d’aquesta mateixa continuïtat fins avui.
